Das Lemma von Borel-Cantelli liefert ein Kriterium, um zu entscheiden, ob der Limes Superior eines Ereignisses mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintritt. Da es sich bei bei dem Limes Superior um ein terminales Ereignis handelt, kann nach dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz der Limes Superior nur mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Borel-Cantelli hilft uns also eine Entscheidung darüber zu treffen, welcher dieser beiden Fälle eintritt.

Satz

Formal lautet der 1. Teil des Lemmas:

Es seien \( A_1, A_2,... \) Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \). Dann gilt

$$ \sum\limits_{n =1}^\infty \mathbb{P}(A_n) < \infty \implies \mathbb{P}(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = 0$$

In Worten ausgedrückt: wenn die Reihe über die Wahrscheinlichkeiten der \( A_n \) konvergiert - und dafür muss die Wahrscheinlichkeit der \( A_n \) hinreichend schnell gegen \( 0 \) konvergieren - dann ist die Wahrscheinlichkeit des Limes Superior, also dass unendlich viele dieser Ereignisse eintreten, \( 0 \).

Man beachte, dass hier noch keine Unabhängigkeit der Ereignisse \( A_1,A_2, ... \) vorausgesetzt wird. Dies ist erst im 2. Teil des Lemmas der Fall.

Erinnerung

Bei dem folgenden Beweis werden wir auf die Mengendarstellung des Limes Superior zurückgreifen, nämlich

$$ \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n := \bigcap_\limits{n=1}^\infty \bigcup_\limits{k=n}^\infty A_k$$

Beweis

Da Wahrscheinlichkeiten immer größer gleich 0 sind, gilt

$$0 \leq \mathbb{P}(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n)$$

mit der Mengenschreibweise des \( \limsup \) folgt

$$0 \leq \mathbb{P}(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = \mathbb{ P }(\bigcap_\limits{n=1}^\infty \bigcup_\limits{k=n}^\infty A_k)$$

Da wir hier den Schnitt über Ereignisse bilden, kann die Wahrscheinlichkeit mit jedem Schnitt nur kleiner werden oder eben gleich bleiben, d.h. wir können die Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite nach oben abschätzen, indem wir den Schnitt \( \bigcap_\limits{n=1}^\infty \)weglassen und das \( =\) durch ein \( \leq \) ersetzen

$$0 \leq \mathbb{P}(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = \mathbb{ P }(\bigcap_\limits{n=1}^\infty \bigcup_\limits{k=n}^\infty A_k) \leq \mathbb{ P }(\bigcup_\limits{k=n}^\infty A_k)$$

Mit der \( \sigma \)-Subadditivität des W-Maßes erhalten wir nun aber eine weitere Abschätzung nach oben

$$0 \leq \mathbb{P}(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = \mathbb{ P }(\bigcap_\limits{n=1}^\infty \bigcup_\limits{k=n}^\infty A_k) \leq \mathbb{ P }(\bigcup_\limits{k=n}^\infty A_k) \leq \sum_\limits{k=n}^\infty \mathbb{ P }(A_k)$$

Laut Voraussetzung konvergiert nun \( \sum\limits_{n =1}^\infty \mathbb{P}(A_n) \). Damit konvergiert aber auch das \( n\)-Stück dieser Reihe, welches bei \( k=n\) beginnt: für \( n \longrightarrow \infty \) muss dieses gegen \( 0\) gehen. Somit haben wir also für den Limes Superior eine Abschätzung nach oben gefunden, die gegen \( 0\) geht, und damit ist die Behauptung gezeigt:

$$0 \leq \mathbb{P}(\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} A_n) = \mathbb{ P }(\bigcap_\limits{n=1}^\infty \bigcup_\limits{k=n}^\infty A_k) \leq \mathbb{ P }(\bigcup_\limits{k=n}^\infty A_k) \leq \sum_\limits{k=n}^\infty \mathbb{ P }(A_k) \longrightarrow 0$$ $$\tag*{$\blacksquare$}$$
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